Teorema de Rouchè-Frobenius

Teorema de Rouchè-Frobenius

    En álgebra lineal, el teorema de Rouché-Frobenius permite calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en función del rango de la matriz de coeficientes, del rango de la matriz ampliada asociada al sistema y del número de incógnitas que posea el sistema.

    Lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché (quien lo enunció), y del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius (quien fue uno de los muchos matemáticos que lo demostraron). Así, en otros idiomas​ recibe otros nombres, como el teorema de Rouché-Capelli, el teorema de Rouché-Fontené, el teorema de Kronecker-Capelli, etc.

    El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condición necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes y la matriz ampliada por los términos independientes posean el mismo rango. Por lo demás, el sistema constituido será determinado si su rango coincide con el número de incógnitas o será indeterminado si posee un valor menor a tal número.

Recordar que un sistema $Ax=b$ es

• Sistema incompatible si no tiene soluciones.
• Sistema compatible determinado si tiene una única solución.
• Sistema compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Sea el sistema $Ax=b$ con $m$ ecuaciones lineales sobre un cuerpo $K$ y con $n$ incógnitas, siendo $m$ y $n$ naturales mayores que 0. Entonces,

1. El sistema $Ax=b$ es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)
2. El sistema $Ax=b$ es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)= n.

Demostracion

    Representamos por $FER\left(A\right)$ a la matriz en forma escalonada reducida de $A$.

    Existe una matriz regular $P$ tal que $FER\left(A\right)=PA$. Esta matriz $P$ es la matriz producto de las matrices elementales que nos permiten obtener la forma escalonada reducida de $A$.

    Como la matriz $P$ es regular, el sistema $\left(PA\right)x=FER\left(A\right)x=Pb$ es equivalente a $Ax=b$.

    Como el sistema $FER\left(A\right)x=Pb$ tiene forma escalonada reducida, se le puede aplicar el método de Gauss-Jordan y se tiene que:

1. $Ax=b$ es compatible si y sólo si $FER\left(A\right)x=Pb$ lo es, y esto es equivalente a que la última columna de la matriz $\left[FER\right(A\left)|Pb\right]$ no sea principal y, por tanto, a que

   $$rango\left(FER\right(A\left)|Pb\right)=rango\left(FER\right(A\left)\right)$$

   Pero de la definición de rango, de que $FER\left(A|b\right)=\left[FER\right(A\left)|Pb\right]$ y de la igualdad anterior, tenemos que

   $$rango\left(A|b\right)=rango\left(FER\right(A\left)\right)=rango\left(A\right)$$

   Así, queda demostrado el primer apartado.

2. Del mismo modo, el sistema $Ax=b$ es determinado si y sólo si $FER\left(A\right)=Pb$ también lo es.

   Esto es lo mismo que decir que en la matriz $FER\left(A|Pb\right)$, todas las columnas son principales excepto la última. Esto equivale a su vez a que

   $$rango\left(FER\right(A\left)|Pb\right)=rango\left(FER\right(A\left)\right)=n$$

   De donde se obtiene

   $$rango\left(A\right)=n=rango\left(A|b\right)$$