Ejemplos del Teorema
Ejemplos del Teorema de Rouché–Frobenius
Los ejemplos son sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas con coeficientes reales (un sistema de cada tipo). Omitimos algunos pasos para abreviar.
Ejemplo 1
La matriz ampliada del sistema es:
El rango de la matriz anterior es 3 puesto que el determinante de es no nulo:
Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices, y , coinciden:
Por el teorema de Rouché-Frobenius, como los rangos son iguales y coinciden con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
En efecto, la única solución del sistema es, en forma matricial,
Es decir,
Ejemplo 2
La matriz ampliada del sistema es
Mediante operaciones elementales fila, obtenemos que la matriz forma escalonada reducida (FER) equivalente a la matriz anterior es
De la forma de la matriz deducimos que los rangos de las matrices ampliada y coeficientes coinciden y es 2, aunque es menor que el número de incógnitas:
Por el teorema de Rouché-Frobenius, como los rangos coinciden pero son menores que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
De la propia obtenemos el conjunto de soluciones del sistema:
Es decir,
Ejemplo 3
La matriz ampliada del sistema es
La matriz forma escalonada reducida (FER) equivalente a la matriz anterior es
De la forma deducimos que los rangos de las matrices ampliada y coeficientes no coinciden:
Por tanto, aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es incompatible (no tiene solución).
En efecto, la última fila de la matriz representa la ecuación imposible
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